Question

10．已知數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=2•3^n-1+（-1）ⁿ（1n2-1n3）+（-1）ⁿn1n3，求其前n項和S_n．

Answer 1

分析 通過a_n=2•3^n-1+（-1）ⁿ（1n2-1n3）+（-1）ⁿn1n3分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論．當(dāng)n為偶數(shù)時計算可知a_n-1+a_n=2•3^n-2+2•3^n-1+1n3，進而可知S_n=2（1+3+3²+…+3^n-1）+$\frac{n}{2}$•ln3，計算即得結(jié)論；當(dāng)n為奇數(shù)時利用S_n=S_n+1-a_n+1計算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=2•3^n-1+（-1）ⁿ（1n2-1n3）+（-1）ⁿn1n3，
∴當(dāng)n為偶數(shù)時，n-1為奇數(shù)，
∴a_n-1+a_n=[2•3^n-2-（1n2-1n3）-（n-1）1n3]+[2•3^n-1+（1n2-1n3）+n1n3]
=2•3^n-2+2•3^n-1+1n3，
∴S_n=2（1+3+3²+…+3^n-1）+$\frac{n}{2}$•ln3
=2•$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+$\frac{n}{2}$•ln3
=3ⁿ+$\frac{n}{2}$•ln3-1；
當(dāng)n為奇數(shù)時，S_n=S_n+1-a_n+1
=3ⁿ⁺¹+$\frac{n+1}{2}$•ln3-1-[2•3ⁿ+（1n2-1n3）+（n+1）1n3]
=3ⁿ-$\frac{n-1}{2}$•ln3-1-ln2；
綜上所述，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{n}-\frac{n-1}{2}•ln3-1-ln2，}&{n為奇數(shù)}\\{{3}^{n}+\frac{n}{2}•ln3-1，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的求和，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．