Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²-alnx在區(qū)間（1，2]內(nèi)是增函數(shù)，g（x）=x-a$\sqrt{x}$在區(qū)間（0，1）內(nèi)是減函數(shù)．
（1）求f（x）、g（x）的表達(dá)式；
（2）求證：當(dāng)x＞0時(shí)，方程f（x）-g（x）=x²-2x+3有唯一解．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為a≤（2x²）_min=2，a≥（2$\sqrt{x}$）_max=2，求出a的值，從而求出函數(shù)的解析式；
（2）f（x）=g（x）+2⇒x2-2lnx-x+2$\sqrt{x}$-2=0，設(shè)h（x）=x2-2lnx-x+2$\sqrt{x}$-2（x＞0），由函數(shù)的單調(diào)性能導(dǎo)出方程f（x）=g（x）+2在x＞0時(shí)只有唯一解．

解答 解：（1）由題意知：f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-a}{x}$≥0在（1，2）上恒成立⇒a≤（2x²）_min=2，
又g′（x）=$\frac{2\sqrt{x}-a}{2\sqrt{x}}$≤0在（0，1]上恒成立⇒a≥（2$\sqrt{x}$）_max=2，
∴a=2，f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-2$\sqrt{x}$．
（2）f（x）=g（x）+2⇒x2-2lnx-x+2$\sqrt{x}$-2=0，
設(shè)h（x）=x2-2lnx-x+2$\sqrt{x}$-2（x＞0），
則h′（x）=2x-$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1，
x∈（0，1]時(shí)，h′（x）＜0，x∈[1，+∞），h′（x）≥0，
解得h（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（1）=0，
即方程f（x）=g（x）+2在x＞0時(shí)只有唯一解．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，具有一定的難度，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．