Question

12．下列說法中
①命題“存在x∈R，2^x≤0”的否定是“對任意的x∈R，2^x＞0”；
②y=x|x|既是奇函數(shù)又是增函數(shù)；
③關于x的不等式a＜sin²x+$\frac{2}{si{n}^{2}x}$恒成立，則a的取值范圍是a＜3；
其中正確的個數(shù)是（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 ①，含有量詞的命題的否定，先換量詞，再否定結論；
②，y=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}\\;\\;（x≥0）}\\{-{x}^{2}\\;\\;（x＜0）}\end{array}\right.$，結合圖象可判定既是奇函數(shù)又是增函數(shù)；
③，∵函數(shù)y=x+$\frac{2}{x}$在（0，1]上是減函數(shù)，所以sin²x+$\frac{2}{si{n}^{2}x}$的最小值為3；

解答 解：對于①，含有量詞的命題的否定，先換量詞，再否定結論，故正確；
對于②，y=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}\\;\\;（x≥0）}\\{-{x}^{2}\\;\\;（x＜0）}\end{array}\right.$，結合圖象可判定既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，故正確；
對于③，∵函數(shù)y=x+$\frac{2}{x}$在（0，1]上是減函數(shù)，所以sin²x+$\frac{2}{si{n}^{2}x}$的最小值為3，關于x的不等式a＜sin²x+$\frac{2}{si{n}^{2}x}$恒成立，則a的取值范圍是a＜3，正確；
故選：A：

點評 本題考查了命題真假的判定，屬于中檔題．