Question

9．已知拋物線C的方程為x²=2py（p＞0），焦點F，點A（-1，1），B（-2，1），滿足$\overrightarrow{FA}$=$λ\overrightarrow{FB}$．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過點A作斜率為正的直線交拋物線C于不同于B的兩點M，N，若直線BM，BN分別交直線l：x+2y+1=0于P，Q兩點，求|PQ|最小時直線MN的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，F(xiàn)，A，B共線，故F（0，1），求出p=2，由此能求出拋物線C的方程．
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線MN的方程為y=k（x+1）+1（k≠0），代入拋物線方程，利用韋達定理；再求出P，Q的橫坐標，能求出|PQ|最小時直線MN的方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知，F(xiàn)，A，B共線，故F（0，1），即$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，
∴拋物線C的方程為x²=4y．
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線MN的方程為y=k（x+1）+1（k≠0），
代入拋物線方程，消去y，并整理，得：x²-4kx-4（k+1）=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4（k+1），
設直線BM的方程為y=k₁（x+1）+1，與x+2y+1=0聯(lián)立可得x_P=$\frac{-4{k}_{1}-3}{2{k}_{1}+1}$，
∵k₁=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}+2}$=$\frac{1}{4}$（x₁-2），∴x_P=-$\frac{2}{{x}_{1}}$-2，
同理x_Q=-$\frac{2}{{x}_{2}}$-2，
∴|PQ|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$|x_P-x_Q|=$\sqrt{5}$•$\frac{\sqrt{{k}^{2}+k+1}}{k+1}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{1-\frac{1}{k+\frac{1}{k}+2}}$≥$\frac{\sqrt{15}}{2}$
當且僅當k=1時，取等號，即|PQ|最小，
∴|PQ|最小時直線MN的方程為x-y+2=0．

點評 本題考查拋物線方程的求法，考查線段的最小值的求法，考查直線方程的求法，正確求出P，Q的橫坐標是關(guān)鍵．