Question

18．已知拋物線y²=4x的焦點為F，準線為l，過拋物線上一點P作PE⊥l于E，若直線EF的一個方向向量為（1，$\sqrt{3}$），則|PF|=4．

Answer 1

分析 由拋物線y²=4x方程，可得焦點F（1，0），準線l的方程為：x=-1．由直線EF的一個方向向量為（1，$\sqrt{3}$），可得k_l，進而得到直線EF的方程為：y=$\sqrt{3}$（x-1），與拋物線方程聯(lián)立，可得解得y_E．由于PE⊥l于E，可得y_P=y_E，代入拋物線的方程可解得x_P．再利用|PF|=|PE|=x_P+1即可得出．

解答 解：由拋物線y²=4x方程，可得焦點F（1，0），準線l的方程為：x=-1．
∵直線EF的一個方向向量為（1，$\sqrt{3}$），∴k_l=$\sqrt{3}$．
∴直線EF的方程為：y=$\sqrt{3}$（x-1），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\sqrt{3}（x-1）}\end{array}\right.$，解得y=-2$\sqrt{3}$．
∴E（-1，-2$\sqrt{3}$）．
∵PE⊥l于E，∴y_P=2$\sqrt{3}$，代入拋物線的方程可得12=4x_p，解得x_P=3．
∴|PF|=|PE|=x_P+1=4．
故答案為：4．

點評 本題考查了拋物線的定義標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立，屬于中檔題．