Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)的和為S_n，滿足（n∈N*），其中p為正常數(shù)，且p≠1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n＞M時(shí)，a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立？若存在，求出使結(jié)論成立的p的取值范圍和相應(yīng)的M的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）若p=，設(shè)數(shù)列{b_n}對(duì)任意n∈N*，都有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_n-1a₂，問數(shù)列{b_n}是不是等差數(shù)列？若是，請(qǐng)求出其通項(xiàng)公式；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列是等比數(shù)列，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由題意，a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立，等價(jià)于＞，分類討論，即可求得結(jié)論；
（3）假設(shè)存在，利用錯(cuò)位相減法，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124630692630409/SYS201310251246306926304022_DA/2.png">，所以當(dāng)n≥2時(shí)，，
兩式相減得（p-1）a_n=a_n-a_n-1，即pa_n=a_n-1，所以=，
所以數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為，
又當(dāng)n=1時(shí)，（p-1）s₁=p²-a₁，即（p-1）a₁=p²-a₁，所以pa₁=p²，
因?yàn)閜＞0，所以a₁=p，
所以{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n==；
（2）由（1）知，a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2=p•••…•=，a₇₈=，
∴a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立，等價(jià)于＞
p為正常數(shù)，且p≠1，所以當(dāng)0＜p＜1時(shí)，＞1，∴，解得n＜-或n＞8，
故存在最小值為8的M，使得a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立；
當(dāng)p＞1時(shí)，0＜＜1，所以，解得-＜n＜8，不合題意，
綜合可得：當(dāng)0＜p＜1時(shí)，所求M的最小值為8；
（3）p=時(shí)，a_n=2^n-2，設(shè)存在數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，其通項(xiàng)為b_n=kn+b，則
∵b₁•2^n-2+b₂•2^n-3+…+b_n-1，
∴b₁•2^n-1+b₂•2^n-2+…+2b_n-1，
兩式相減可得b₁•2^n-1+k（2^n-2+2^n-3+…+1）-b_n=
∴=
∴
∴k=1，b=0
∴b_n=n，
即存在數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，其通項(xiàng)為b_n=n，對(duì)任意n∈N^*，都有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_n-1a₂，
點(diǎn)評(píng)：本題為等差、等比數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．