Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-2（a≠0）有且僅有兩個不同的零點x₁，x₂，則（ ）
A．當a＜0時，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0
B．當a＜0時，x₁+x₂＞0，x₁x₂＜0
C．當a＞0時，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0
D．當a＞0時，x₁+x₂＞0，x₁x₂＜0

Answer 1

【答案】分析：求導數(shù)可得x=0，或x=時，函數(shù)取得極值，要滿足題意需f（）=0，可得a，b的關(guān)系，當a＞0時，x₁+x₂的正負不確定，不合題意；當a＜0，可得x₁x₂＜0，x₁+x₂＞0，進而可得答案．
解答：解：原函數(shù)的導函數(shù)為f′（x）=3ax²+2bx=x（3ax+2b），
令f′（x）=0，可解得x=0，或x=，
故當x=0，或x=時，函數(shù)取得極值，又f（0）=-2＜0，
所以要使函數(shù)f（x）=ax³+bx²-2（a≠0）有且僅有兩個不同的零點，
則必有f（）=a+b-2=0，解得，且b＞0，
即函數(shù)的一根為x₁=，
（1）如下圖，若a＞0，可知x₁=＜0，且為函數(shù)的極大值點，x=x₂處為函數(shù)的極小值點，
此時函數(shù)有2個零點：，x₂＞0，顯然有x₁x₂＜0，但x₁+x₂的正負不確定，故可排除C，D；
（2）如圖2，若a＜0，必有x₁=＞0，此時必有x₁x₂＜0，x₁=的對稱點為x=，
則f（）=a+b-2=-2==8＞0，
則必有x₂＞，即x₂-＞0，即x₁+x₂＞0
故選B
點評：本題考查根的存在性及根的個數(shù)的判斷，涉及三次函數(shù)的圖象以及分類討論的思想，屬中檔題