【題目】已知拋物線C： ，點(diǎn)在x軸的正半軸上，過(guò)點(diǎn)M的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）若，且直線的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；

（2）是否存在定點(diǎn)M，使得不論直線繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動(dòng)， 恒為定值？

【答案】（1）以AB為直徑的圓的方程是；（2）存在定點(diǎn)，滿足題意．

【解析】試題分析：（1）由題意得，直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可得圓心坐標(biāo)和圓的半徑，從而可得圓的方程．

（2）若存在定點(diǎn)這樣的點(diǎn)，使得恒為定值；直線： 與拋物線C： 聯(lián)立，計(jì)算,，利用恒為定值，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)，點(diǎn)M為拋物線C的焦點(diǎn)，

直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，

消去y得， ，∴， ，∴圓心坐標(biāo)為．

又，∴圓的半徑為4，∴圓的方程為．

（2）由題意可設(shè)直線的方程為，則直線的方程與拋物線C： 聯(lián)立，

消去x得： ，則， ，

對(duì)任意恒為定值，

于是，此時(shí)．

∴存在定點(diǎn)，滿足題意．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】學(xué)校射擊隊(duì)的某一選手射擊一次，其命中環(huán)數(shù)的概率如表：

命中環(huán)數(shù)

10環(huán)

9環(huán)

8環(huán)

7環(huán)

概率

0.32

0.28

0.18

0.12

求該選手射擊一次，

(1)命中9環(huán)或10環(huán)的概率.

(2)至少命中8環(huán)的概率.

(3)命中不足8環(huán)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)為圓的圓心， 是圓上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在圓的半徑上，且有點(diǎn)和上的點(diǎn)，滿足

（1）當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）若斜率為的直線與圓相切，與（1）中所求點(diǎn)的軌跡教育不同的兩點(diǎn) 是坐標(biāo)原點(diǎn)，且時(shí)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓過(guò)兩點(diǎn)， ，且圓心在直線上．

（Ⅰ）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）直線過(guò)點(diǎn)且與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， ，若直線的斜率大于0，求的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否存在直線使得弦的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓，圓心為，定點(diǎn)， 為圓上一點(diǎn)，線段上一點(diǎn)滿足，直線上一點(diǎn)，滿足．

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）為坐標(biāo)原點(diǎn)， 是以為直徑的圓，直線與相切，并與軌跡交于不同的兩點(diǎn)．當(dāng)且滿足時(shí)，求面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為．

（1）若，過(guò)點(diǎn), 的直線與拋物線相交于另一點(diǎn)，求的值；

（2）若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與圓相交于兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)， ，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得的長(zhǎng)為定值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2015年12月，華中地區(qū)數(shù)城市空氣污染指數(shù)“爆表”，此輪污染為2015年以來(lái)最嚴(yán)重的污染過(guò)程，為了探究車(chē)流量與的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到華中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時(shí)間段車(chē)流量與的數(shù)據(jù)如表：

（1）由散點(diǎn)圖知與具有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（提示數(shù)據(jù)： ）

（2）利用（1）所求的回歸方程，預(yù)測(cè)該市車(chē)流量為12萬(wàn)輛時(shí)的濃度.

參考公式：回歸直線的方程是，其中， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知向量， ，且滿足.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程所代表的曲線；

（2）若點(diǎn)， ， 是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足， ，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程.

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