Question

12．已知α∈（0，π），方程x²sinα+y²cosα=1，試表述當(dāng)α變化時(shí)方程所表示的曲線形狀．

Answer 1

分析 根據(jù)sinα，cosα的符號(hào)，對(duì)角α分五類進(jìn)行討論，由直線、圓、橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷對(duì)應(yīng)曲線的具體類型．

解答 解：當(dāng)α≠90°時(shí)，∵x²sinα+y²cosα=1，∴$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{sinα}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{cosα}}=1$．
（1）當(dāng)0°＜α＜45°時(shí)，0＜sinα＜cosα，曲線是焦點(diǎn)在X軸上的橢圓；（3分）
（2）當(dāng)α=45°時(shí)，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，曲線是圓；（2分）
（3）當(dāng)45°＜α＜90°時(shí)，sinα＞cosα＞0，曲線是焦點(diǎn)在Y軸上的橢圓；（3分）
（4）當(dāng)α=90°時(shí)，方程為x=±1，曲線是兩條直線；（2分）
（5）90°＜α＜180°時(shí)，sinα＞0，cosα＜0，曲線是焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線．（4分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程含有參數(shù)時(shí)討論表示的曲線問題，需要根據(jù)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類討論，分別再由圓、橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷對(duì)應(yīng)曲線的具體形狀，考查了分類討論思想．