Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-∞，+∞）上以2為周期的函數(shù)，記I_k=（2k-1，2k+1]（k∈Z）．已知當(dāng)x∈I₀時，f（x）=x²，如圖．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求使方程f（x）=ax在I_k（k∈N^*）上有兩個不相等實(shí)數(shù)根的關(guān)于a的集合M_k．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的周期性求函數(shù)的表達(dá)式．
（2）將方程f（x）=ax轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)根的分布求a的取值集合．

解答 解：（1）∵f（x）是以2為周期的函數(shù)，∴f（x-2k）=f（x）（k∈Z），…（1分）
當(dāng)x∈I_k時，（x-2k）∈I_°，
∴f（x）=f（x-2k）=（x-2k）²
∴f（x）的解析式為：∴f（x）=（x-2k）²，x∈I_k…（4分）
（2）當(dāng)k∈N^*且x∈I_k時，方程f（x）=ax化為x²-（4k+a）x+4k²=0，…（6分）
令g（x）=x²-（4k+a）x+4k²…（7分）使方程f（x）=ax在I_k上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
則$\left\{\begin{array}{l}△=a（a+8k）＞0\\ 2k-1＜\frac{4k+a}{2}≤2k+1\\ g（2k-1）=1-2ak+a＞0\\ g（2k+1）=1-2ak-a≥0\end{array}\right.$…（9分）
即$\left\{\begin{array}{l}a＞0或a＜-8k\\-1＜a≤1\\ 0＜a＜\frac{1}{2k-1}\\ 0＜a≤\frac{1}{2k+1}\end{array}\right.$
∴$0＜a≤\frac{1}{2k+1}$…（11分）
∴${M_k}=\{a|0＜a≤\frac{1}{2k+1}\}$…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)周期性的應(yīng)用，以及二次方程根的分布問題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，綜合性較強(qiáng)．