Question

4．直角坐標(biāo)系中曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）經(jīng)過點(diǎn)M（2，2）作直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，若M恰好為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1可得曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）代入曲線C的方程有：（7sin²α+9）t²+（36cosα+64sinα）t-44=0，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，可得t₁+t₂=0，即可得出．

解答 解：（1）由曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），
利用cos²θ+sin²θ=1可得：曲線C的直角坐標(biāo)方程為：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$．
（2）設(shè)直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）
代入曲線C的方程有：（7sin²α+9）t²+（36cosα+64sinα）t-44=0，
設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=36cosα+64sinα=0，
∴tanα=-$\frac{9}{16}$，即直線l的斜率$-\frac{9}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．