Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+2|x-1|
（Ⅰ）求不等式f（x）≥x+3的解集；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥log_a（x+1）在x≥0上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把要解的不等式轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，分別求得每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，在（0，+∞）上，不等式顯然成立；當(dāng)a＞1時(shí)，結(jié)合f（x）、g（x）的圖象，可得當(dāng)g（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2）時(shí)，a=$\sqrt{2}$，要使不等式f（x）≥g（x）=log_a（x+1）恒成立，a≥$\sqrt{2}$，綜合可得，a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由于函數(shù)f（x）=|x+1|+2|x-1|，不等式f（x）≥x+3，即|x+1|+2|x-1|≥x+3，
即 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-1+2（1-x）≥x+3}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x＜1}\\{x+1+2（1-x）≥x+3}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+1+2（x-1）≥x+3}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜-1，解②求得-1≤x≤0，解③求得 x≥2，
故原不等式的解集為{x|x≤0，或x≥2}．
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥log_a（x+1）在x≥0上恒成立，即|x+1|+2|x-1|≥log_a（x+1）在x≥0上恒成立．
由于g（x）=log_a（x+1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，0），且圖象位于直線x=-1的右側(cè)，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，在（0，+∞）上，log_a（x+1）＜0，f（x）＞0，不等式f（x）≥g（x）=log_a（x+1）恒成立．
當(dāng)a＞1時(shí)，結(jié)合f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-3x，x＜-1}\\{3-x，-1≤x＜1}\\{3x-1，x≥1}\end{array}\right.$、g（x）的圖象，
當(dāng)g（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2）時(shí)，a=$\sqrt{2}$，要使不等式f（x）≥g（x）=log_a（x+1）恒成立，a≥$\sqrt{2}$，
綜上可得，a的取值范圍為（0，1）∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．