Question

某公司為一家制冷設(shè)備廠(chǎng)設(shè)計(jì)生產(chǎn)一種長(zhǎng)方形薄板，其周長(zhǎng)為4米，這種薄板須沿其對(duì)角線(xiàn)折疊后使用．如圖所示，ABCD（AB＞AD）為長(zhǎng)方形薄板，沿AC折疊后，AB'交DC于點(diǎn)P．當(dāng)△ADP的面積最大時(shí)最節(jié)能，凹多邊形ACB'PD的面積最大時(shí)制冷效果最好．
（1）設(shè)AB=x米，用x表示圖中DP的長(zhǎng)度，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（2）若要求最節(jié)能，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)薄板的長(zhǎng)和寬？
（3）若要求制冷效果最好，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)薄板的長(zhǎng)和寬？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用PA²=AD²+DP²，構(gòu)建函數(shù)，可得DP的長(zhǎng)度；
（2）表示出△ADP的面積，利用基本不等式，可求最值；
（3）表示出△ADP的面積，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，可求最值．
解答：解：（1）由題意，AB=x，BC=2-x．因x＞2-x，故1＜x＜2   
設(shè)DP=y，則PC=x-y．
因△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x-y．
由PA²=AD²+DP²，得（x-y）²=（2-x）²+y²，即
（2）記△ADP的面積為S₁，則S₁==，
當(dāng)且僅當(dāng)x=∈（1，2）時(shí)，S₁取得最大值  
故當(dāng)薄板長(zhǎng)為米，寬為米時(shí)，節(jié)能效果最好  
（3）記△ADP的面積為S₂，則S₂S₂S₂==，
于是S₂′=，∴，
關(guān)于x的函數(shù)S₂在（1，）上遞增，在（，2）上遞減．
所以當(dāng)時(shí)，S₂取得最大值  
故當(dāng)薄板長(zhǎng)為米，寬為米時(shí)，制冷效果最好
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力．試題以常見(jiàn)的圖形為載體，再現(xiàn)對(duì)基本不等式、導(dǎo)數(shù)等的考查．