Question

8．設二次函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（2-x），且方程f（x）=0的兩實根的平方和為10，f（x）的圖象過點（0，3）．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求y=f（x）在[1，3]上的值域．

Answer 1

分析 （1）設二次函數(shù)的解析式為f（x）=ax²+bx+c，由條件f（x+2）=f（2-x）可得對稱軸x=2，再由韋達定理，結合條件圖象過點（0，3），可得c=3，a=1，b=-4，進而得到函數(shù)的解析式；
（2）由二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關系，可得最值．

解答 解：（1）設二次函數(shù)的解析式為：f（x）=ax²+bx+c，
因為二次函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（2-x），
所以二次函數(shù)的對稱軸為：x=2，
即-$\frac{2a}$=2，即$\frac{a}$=-4，
f（x）=0的兩實根平方和為10，
根據(jù)韋達定理，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
即有（-$\frac{a}$）²-$\frac{2c}{a}$=10，
即16-$\frac{2c}{a}$=10，
即c=3a，
又f（x）圖象過點（0，3），
即c=3，
所以a=1，b=-4，
綜上所述，f（x）=x²-4x+3；
（2）由函數(shù)f（x）在[1，2]遞減，在[2，3]遞增，
則x=2處取得最小值，且為-1；
x=1或3處，取得最大值，且為0．
即有值域為[-1，0]．

點評 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的對稱性和二次方程的韋達定理的運用，以及二次函數(shù)的值域的求法，屬于中檔題．