Question

18．已知分段函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+5，x≤-1}\\{{x}^{2}，-1＜x＜1}\\{2x，x≥1}\end{array}\right.$．
（1）求f（-3），f[f（-3）]；
（2）求f（x）的定義域和值域并畫出y=f（x）的圖象；
（3）若f（a）=$\frac{1}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+5，x≤-1}\\{{x}^{2}，-1＜x＜1}\\{2x，x≥1}\end{array}\right.$將x=-3代入可得f（-3），f[f（-3）]；
（2）求出各段x的范圍，可得函數(shù)的定義域，分類討論求出各段函數(shù)的值域，求其并集，可得函數(shù)的值域，分段畫出各段的圖象可得答案；
（3）分段求解方程f（a）=$\frac{1}{2}$，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+5，x≤-1}\\{{x}^{2}，-1＜x＜1}\\{2x，x≥1}\end{array}\right.$．
∴f（-3）=2，f[f（-3）]=f（2）=4；
（2）f（x）的定義域為R，
當(dāng)x≤-1時，f（x）=x+5∈（-∞，4]，
當(dāng)-1＜x＜1時，f（x）=x²∈[0，1），
當(dāng)x≥1時，f（x）=2x∈[2，+∞），
故f（x）的值域為：（-∞，4]∪[0，1）∪[2，+∞），
函數(shù)的圖象如下圖所示：

（3）當(dāng)a≤-1時，由f（a）=a+5=$\frac{1}{2}$得：a=-4$\frac{1}{2}$，
當(dāng)-1＜a＜1時，f（a）=a²=$\frac{1}{2}$得：a=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)a≥1時，f（a）=2a=$\frac{1}{2}$得：a=$\frac{1}{4}$（舍去），
綜上，若f（a）=$\frac{1}{2}$，則a=-4$\frac{1}{2}$，或a=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的圖象，函數(shù)的值，函數(shù)的定義域，值域，分段函數(shù)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．