Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x³+cx在x=1處取得極值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（1），求出c的值，從而求出f（x）的解析式即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{3}{2}$x²+c，當x=1時，f（x）取得極值，
則f′（1）=0，即$\frac{3}{2}$+c=0，得c=-$\frac{3}{2}$．故f（x）=$\frac{1}{2}$x³-$\frac{3}{2}$x．
（2）f′（x）=$\frac{3}{2}$x²-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$（x²-1）=$\frac{3}{2}$（x-1）（x+1），
令f′（x）=0，得x=-1或1．
x，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

因此，f（x）的極大值為f（-1）=1，極小值為f（1）=-1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、極值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．