Question

在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,又側棱PA⊥底面ABCD.

(1)當a為何值時,BD⊥平面PAC?試證明你的結論.

(2)當a=4時,求證:BC邊上存在一點M,使得PM⊥DM.

(3)若在BC邊上至少存在一點M,使PM⊥DM,求a的取值范圍.

Answer 1

思路分析:本題第(1)問是尋求BD⊥平面PAC的條件,即BD垂直于平面PAC內兩相交直線,易知BD⊥PA,問題歸結為a為何值時,BD⊥AC,從而知ABCD為正方形.

(1)解：當a=2時,ABCD為正方形,則BD⊥AC.

    又∵PA⊥底面ABCD,BD平面ABCD,

    ∴BD⊥PA.

    ∴BD⊥平面PAC.

    故當a=2時,BD⊥平面PAC.

(2)證明:當a=4時,取BC邊的中點M,AD邊的中點N,連結AM、DM、MN.

    ∵ABMN和DCMN都是正方形,∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°,即DM⊥AM.又PA⊥底面ABCD,由三垂線定理,得PM⊥DM,故當a=4時,BC邊的中點M使PM⊥DM.

(3)解:設M是BC邊上符合題設的點M,

    ∵PA⊥底面ABCD,

    ∴DM⊥AM.

    因此,M點應是以AD為直徑的圓和BC邊的一個公共點,則AD≥2AB,即a≥4為所求.

講評:本題的解決中充分運用了平面幾何的相關知識.因此,立體幾何解題中,要注意有關的平面幾何知識的運用.事實上,立體幾何問題最終是在一個或幾個平面中得以解決的.