(2010•孝感模擬)已知函數(shù)f(x)=|x-a|-lnx(a∈R)
(I)若a=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間及f(x)的最小值;
(II)若a∈R,試討論f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(III)若n∈N+,求證:1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
1
2
ln
(n+1)(n+2)
2
分析:(I)f(x)=|x-a|-lnx的定義域?yàn)椋?,+∞).a(chǎn)=1,f(x)=|x-1|-lnx,當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=1-
1
x
=
x-1
x
≥0
,故f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是遞增函數(shù),當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)=-1-
1
x
<0
,故f(x)在區(qū)間(0,1)上是遞減函數(shù),由此能求出f(x)的單調(diào)區(qū)間及f(x)的最小值.
(II)分a≥1時(shí),0<a<1時(shí)和a≤0時(shí)三種情況,分別計(jì)算f(x)的導(dǎo)數(shù),并由f′(x)的符號(hào)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(III)由a=1,知f(x)在(0,1)上遞減,在[1,+∞)上遞增,故x-1>lnx在x>1時(shí)成立.若n∈N*,n>1,則令x=
n+1
n-1
>1,則
2
n-1
>ln
n+1
n-1
,由此能夠證明n∈N*時(shí),1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
1
2
ln
(n+1)(n+2)
2
解答:解:(I)f(x)=|x-a|-lnx的定義域?yàn)椋?,+∞).
a=1,f(x)=|x-1|-lnx,
當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=x-1-lnx,
f(x)=1-
1
x
=
x-1
x
≥0
,
∴f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是遞增函數(shù),
當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)=1-x-lnx,
f(x)=-1-
1
x
<0
,
∴f(x)在區(qū)間(0,1)上是遞減函數(shù),
故a=1時(shí),f(x)的增區(qū)間為[1,+∞),減區(qū)間為(0,1),
f(x)min=f(1)=0.
(II)若a≥1時(shí),當(dāng)x≥a時(shí),f(x)=x-a-lnx,f(x)=1-
1
x
=
x-1
x
≥0

則f(x)在區(qū)間[a,+∞)上是遞增的;
當(dāng)0<x<a時(shí),f(x)=a-x-lnx,f(x)=-1-
1
x
<0
,
∴f(x)在區(qū)間(0,a)上是遞減的,
若0<a<1,當(dāng)x≥a時(shí),f(x)=x-a-lnx,
f(x)=1-
1
x
=
x-1
x
,x>1,f′(x)>0,a<x<1,f′(x)<0,
則f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是遞增的,f(x)在區(qū)間[a,1)上是遞減的.
當(dāng)0<x<a時(shí),f(x)=a-x-lnx,f(x)=-1-
1
x
<0
,
f(x)在區(qū)間(0,a)上是遞減的,
而f(x)在x=a處連續(xù),
則f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是遞增的,在區(qū)間(0,1)上是遞減的,
若a≤0,f(x)=x-lnx,f(x)=1-
1
x
=
x-1
x
,x>1,f′(x)>0,0<x<1,f′(x)<0,
則f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是遞增的,f(x)在區(qū)間(0,1)上是遞減的.
綜上所述,
當(dāng)a≥1時(shí),
a≤0,f(x)=x-lnx,
f(x)的增區(qū)間是[a,+∞),減區(qū)間是(0,a).
當(dāng)a<1時(shí),f(x)的遞增區(qū)間是{1,+∞),減區(qū)間是(0,1).
(III)由(I)知:a=1
f(x)在(0,1)上遞減,在[1,+∞)上遞增.
∴x>1時(shí),f(x)=x-1-lnx>f(1)=0,
即x-1>lnx在x>1時(shí)成立.
若n∈N*,n>1,則令x=
n+1
n-1
>1,
n+1
n-1
-1>ln
n+1
n-1
,
2
n-1
>ln
n+1
n-1
,
2
2-1
+
2
3-1
+…+
2
n

>ln
2+1
2-1
+ln
3+1
3-1
+…+ln
n+2
n

=ln
n+2
2n
,
∴n∈N*,n>1時(shí),1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
1
2
ln
(n+1)(n+2)
2
,
∵n=1時(shí),不等式即為1>
1
2
ln3=ln
3
成立,
故n∈N*時(shí),1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
1
2
ln
(n+1)(n+2)
2
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算量大,容易失誤,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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(2010•孝感模擬)設(shè)某銀行一年內(nèi)吸納儲(chǔ)戶存款的總數(shù)與銀行付給儲(chǔ)戶年利率的平方成正比,若該銀行在吸納到儲(chǔ)戶存款后即以5%的年利率把儲(chǔ)戶存款總數(shù)的90%貸出以獲取利潤(rùn),問(wèn)銀行支付給儲(chǔ)戶年利率定為多少時(shí),才能獲得最大利潤(rùn)?
(注:銀行獲得的年利潤(rùn)是貸出款額的年利息與支付給儲(chǔ)戶的年利息之差.)

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-1+i
1+ai
為純虛數(shù),則其虛部為(  )

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(2010•孝感模擬)如圖,△OAB中,|
OA
|>|
OB
|,|
OC
|=|
OB
|
,設(shè)
OA
=a,
OB
=b
,若
AC
=λ•
AB
,則實(shí)數(shù)λ的值為( 。

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