分析:(I)f(x)=|x-a|-lnx的定義域?yàn)椋?,+∞).a(chǎn)=1,f(x)=|x-1|-lnx,當(dāng)x≥1時(shí),
f′(x)=1-=≥0,故f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是遞增函數(shù),當(dāng)0<x<1時(shí),
f′(x)=-1-<0,故f(x)在區(qū)間(0,1)上是遞減函數(shù),由此能求出f(x)的單調(diào)區(qū)間及f(x)的最小值.
(II)分a≥1時(shí),0<a<1時(shí)和a≤0時(shí)三種情況,分別計(jì)算f(x)的導(dǎo)數(shù),并由f′(x)的符號(hào)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(III)由a=1,知f(x)在(0,1)上遞減,在[1,+∞)上遞增,故x-1>lnx在x>1時(shí)成立.若n∈N
*,n>1,則令x=
>1,則
>ln,由此能夠證明n∈N
*時(shí),
1+++…+>ln.
解答:解:(I)f(x)=|x-a|-lnx的定義域?yàn)椋?,+∞).
a=1,f(x)=|x-1|-lnx,
當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=x-1-lnx,
f′(x)=1-=≥0,
∴f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是遞增函數(shù),
當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)=1-x-lnx,
f′(x)=-1-<0,
∴f(x)在區(qū)間(0,1)上是遞減函數(shù),
故a=1時(shí),f(x)的增區(qū)間為[1,+∞),減區(qū)間為(0,1),
f(x)
min=f(1)=0.
(II)若a≥1時(shí),當(dāng)x≥a時(shí),f(x)=x-a-lnx,
f′(x)=1-=≥0,
則f(x)在區(qū)間[a,+∞)上是遞增的;
當(dāng)0<x<a時(shí),f(x)=a-x-lnx,
f′(x)=-1-<0,
∴f(x)在區(qū)間(0,a)上是遞減的,
若0<a<1,當(dāng)x≥a時(shí),f(x)=x-a-lnx,
f′(x)=1-=,x>1,f′(x)>0,a<x<1,f′(x)<0,
則f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是遞增的,f(x)在區(qū)間[a,1)上是遞減的.
當(dāng)0<x<a時(shí),f(x)=a-x-lnx,
f′(x)=-1-<0,
f(x)在區(qū)間(0,a)上是遞減的,
而f(x)在x=a處連續(xù),
則f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是遞增的,在區(qū)間(0,1)上是遞減的,
若a≤0,f(x)=x-lnx,
f′(x)=1-=,x>1,f′(x)>0,0<x<1,f′(x)<0,
則f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是遞增的,f(x)在區(qū)間(0,1)上是遞減的.
綜上所述,
當(dāng)a≥1時(shí),
a≤0,f(x)=x-lnx,
f(x)的增區(qū)間是[a,+∞),減區(qū)間是(0,a).
當(dāng)a<1時(shí),f(x)的遞增區(qū)間是{1,+∞),減區(qū)間是(0,1).
(III)由(I)知:a=1
f(x)在(0,1)上遞減,在[1,+∞)上遞增.
∴x>1時(shí),f(x)=x-1-lnx>f(1)=0,
即x-1>lnx在x>1時(shí)成立.
若n∈N
*,n>1,則令x=
>1,
則
-1>ln,
即
>ln,
∴
++…+>ln+ln+…+ln=ln
,
∴n∈N
*,n>1時(shí),1+
++…+>ln,
∵n=1時(shí),不等式即為
1>ln3=ln成立,
故n∈N
*時(shí),
1+++…+>ln.