Question

3．已知函數(shù)y=$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$
（1）求函數(shù)的定義域和值域；
（2）用定義判定函數(shù)的奇偶性；
（3）作函數(shù)在[0，π]內(nèi)的圖象；
（4）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得出該函數(shù)定義域為R，對原函數(shù)兩邊平方便可得到y(tǒng)²=2+2|cosx|，從而由0≤|cosx|≤1即可求出值域．
（2）容易求f（-x）=f（x），從而該函數(shù)便為偶函數(shù)；
（3）可考慮用二倍角的余弦公式化簡原函數(shù)，為判斷開出方來的數(shù)的符號，可討論x：$x∈[0，\frac{π}{2}]$可得到f（x）=$2cos\frac{x}{2}$，而$x∈（\frac{π}{2}，π]$時，f（x）=2sin$\frac{x}{2}$，這樣便可根據(jù)三角變換的知識得出f（x）在[0，π]上的圖象；
（4）由畫出的f（x）在[0，π]上的圖象及f（x）為偶函數(shù)，便可得到f（x）的周期為π，從而根據(jù)[0，π]上的圖象即可得出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）對任意的x∈R，1+sinx≥0，且1-sinx≥0；
∴該函數(shù)的定義域為R；
${y}^{2}=2+2\sqrt{1-si{n}^{2}x}$=2+2|cosx|；
0≤|cosx|≤1；
∴2≤y²≤4；
∴$-2≤y≤-\sqrt{2}，或\sqrt{2}≤y≤2$；
又y＞0；
∴該函數(shù)的值域為$[\sqrt{2}，2]$；
（2）設(shè)y=f（x），則f（-x）=$\sqrt{1-sinx}+\sqrt{1+sinx}=f（x）$；
∴該函數(shù)為偶函數(shù)；
（3）x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，$f（x）=\sqrt{1+sinx}+\sqrt{1-sinx}$=$\sqrt{1+cos（\frac{π}{2}-x）}+\sqrt{1-cos（\frac{π}{2}-x）}$=$\sqrt{2}[cos（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）+sin（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）]$=$2sin（\frac{π}{2}-\frac{x}{2}）=2cos\frac{x}{2}$；
∴$x∈（\frac{π}{2}，π]$時，$f（x）=\sqrt{2}[cos（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）-sin（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）]$=$2sin\frac{x}{2}$；
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的圖象是將y=cosx沿x軸拉伸為原來的2倍，沿y軸拉伸為原來的2倍得到，在（$\frac{π}{2}$，π]的圖象是將y=sinx沿x拉伸2倍，y軸拉伸2倍，∴圖象如下：

（4）由f（x）為偶函數(shù)及在[0，π]上的圖象可以看出該函數(shù)的周期為π；
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$[kπ，kπ+\frac{π}{2}]$，單調(diào)遞增區(qū)間為$[kπ+\frac{π}{2}，kπ+π]$，k∈Z．

點評 考查函數(shù)定義域、值域的概念，正余弦函數(shù)的值域，二倍角的余弦公式，函數(shù)奇偶性的定義及判斷方法，三角函數(shù)變換，函數(shù)最小正周期的概念，以及偶函數(shù)圖象的對稱性，周期函數(shù)單調(diào)區(qū)間的寫法．