Question

在平面四邊形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖．
（1）求證：AB⊥CD；
（2）若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間角

分析：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得出；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系．設直線AD與平面MBC所成角為θ，利用線面角的計算公式sinθ=|cos＜

n

，

AD

＞|=

| n • AD |

| n | | AD |

即可得出．

解答： （1）證明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB?平面ABD，AB⊥BD，
∴AB⊥平面BCD，又CD?平面BCD，∴AB⊥CD．
（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標系．
∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，
∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M(0，

1

2

，

1

2

)．
∴

AD

=（0，1，-1），

BC

=（1，1，0），

BM

=(0，

1

2

，

1

2

)．
設平面BCM的法向量

n

=（x，y，z），則

n • BC =x+y=0 n • BM = 1 2 y+ 1 2 z=0

，
令y=-1，則x=1，z=1．
∴

n

=（1，-1，1）．
設直線AD與平面MBC所成角為θ．
則sinθ=|cos＜

n

，

AD

＞|=

| n • AD |

| n | | AD |

=

2

3 × 2

=

6

3

．

點評：本題綜合考查了面面垂直的性質(zhì)定理、線面角的計算公式sinθ=|cos＜

n

，

AD

＞|=

| n • AD |

| n | | AD |

，考查了推理能力和空間想象能力，屬于中檔題．