(2006·福建)如下圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點,CA=CB=CD=BD=2,

(1)求證:AO⊥平面BCD;

(2)求異面直線ABCD所成角的余弦值;

(3)求點E到平面ACD的距離.

答案:略
解析:

(1)證明:連接OC

BO=DO,AB=AD,∴AOBD

BO=DO,BC=CD,∴COBD

在△AOC中,由已知可得AO=1

AC=2,

∴∠AOC=90°,即AOOC

AO⊥平面BCD

(2)O為原點,如下圖建立空間直角坐標系,

B(1,00),D(10,0),A(0,0,1),,,

∴異面直線ABCD所成角的余弦值是

(3)設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z),則

y=1,得是平面ACD的一個法向量.又,

∴點E到平面ACD的距離


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