Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)分別為1，a+a²，a²+a³+a⁴，a³+a⁴+a⁵+a⁶，…，求{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：由an=an-1+an+…+a2n-2，先對(duì)數(shù)列a_n求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可知，需對(duì)a是否為1分類(lèi)討論：當(dāng)a=1時(shí)，a_n=n，利用等差數(shù)列的求和公式可求S_n；當(dāng)a≠1時(shí)，an=

an-1(1-an)

1-a

=

an-1-a2n-1

1-a

，利用等比數(shù)列的求和公式可求

解答：解：∵an=an-1+an+…+a2n-2，
當(dāng)a=1時(shí)，a_n=n，S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

當(dāng)a≠1時(shí)，由登比數(shù)列的求和公式可得，an=

an-1(1-an)

1-a

=

an-1-a2n-1

1-a

，
∴Sn=

1

1-a

[(1+a+a2+…+an-1)-(a+a3+…+a2n-1)]，
①當(dāng)a≠±1時(shí)，Sn=

1

1-a

[

1-an

1-a

-

a(1-a2n)

1-a2

]
②當(dāng)a=-1時(shí)，S_n=

1

2

[1-1+1-1+…（-1）^n-1-（-1-1-1…-1）]
=

1

2

[1-1+1-1…(-1)n-1]-n×(-1)×

1

2

（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=

1

2

×1+

1

2

n即Sn=

1+n

2

；
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=

1

2

×0+

1

2

×n即Sn=

n

2

．
綜上可得，當(dāng)a=1時(shí)，S_n=

n(n+1)

2

當(dāng)a=-1時(shí)，Sn=

n+1 2 ，n為奇數(shù) n 2 ，n為偶數(shù)

當(dāng)a≠±1時(shí)，Sn=

1

1-a

[

1-an

1-a

-

a(1-a2n)

1-a2

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列求和的應(yīng)用，等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，解題中要注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．