Question

已知拋物線C的頂點在原點，焦點坐標為F（2，0），點P的坐標為（m，0）（m≠0），設(shè)過點P的直線l交拋物線C于A，B兩點，點P關(guān)于原點的對稱點為點Q．
（1）當(dāng)直線l的斜率為1時，求△QAB的面積關(guān)于m的函數(shù)表達式．
（2）試問在x軸上是否存在一定點T，使得TA，TB與x軸所成的銳角相等？若存在，求出定點T 的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將拋物線C的方程y²=8x與直線l的方程y=x-m聯(lián)立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理求得弦|AB|，從而可求得△QAB的面積關(guān)于m的函數(shù)表達式；
（2）將y=k（x-m）與y²=8x聯(lián)立，設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），設(shè)點T（t，0）存在，由TA，TB與x軸所成的銳角相等可得k_TA+k_TB=0，利用韋達定理，即可求得t=-m．
解答：解：（1）由條件知，拋物線C的方程為y²=8x，直線l的方程為y=x-m，點Q（-m，0），
由得：x²-2（m+4）x+m²=0．①
由①式判別式△＞0，得m＞-2．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2（m+4），x₁x₂=m²，
|AB|=|x₁-x₂|==8．
又∵點Q（-m，0）到直線l₁的距離d=|m|，
∴S_△QAB=|m|•8=4，其中m＞-2且m≠0…7
（2）方程為y=k（x-m），由得：k²x²-2（mk²+4）x+k²m²=0．②
設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），則x₃+x₄=，x₃x₄=m²．
設(shè)點T（t，0）存在，TA，TB與x軸所成的銳角相等，k_TA+k_TB=0，=0，
即=0，
整理得：2x₃x₄-（m+t）（x₃+x₄）+2mt=0，
∴2m²-（m+t）+2mt=0，
∴t=-m．
∴符合條件的點T存在，其坐標為T（-m，0）…15
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查曲線方程的聯(lián)立，韋達定理的使用，弦長公式的應(yīng)用，突出考查化歸思想與方程思想，屬于難題．