Question

已知數(shù)列{a_n}，前n項和為S_n，若a_n+1＞a_n＞0，且滿足S_n=

1

2

（a_n²+n-1）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿足b_n=

an

an+1

+

an+1

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（Ⅲ）設c_n=2ⁿ（

an+1

n

-λ），若數(shù)列{c_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用遞推關系式，求出a_n-a_n-1=1（n≥2）然后對n=1進行驗證，最后確定等差數(shù)列的通項公式．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）式的結(jié)果，整理出bn=

an

an+1

+

an+1

an

=2+

1

n+1

-

1

n+2

，最后利用裂項相消法求出前n項的和．
（Ⅲ）結(jié)合（Ⅰ）式的結(jié)果，利用遞減數(shù)列的性質(zhì)，求出λ＞

n2+n-2

n2+n

，進一步利用恒成立求出參數(shù)的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）已知數(shù)列{a_n}滿足S_n=

1

2

（a_n²+n-1）．
所以：2Sn=an2+n-1①
利用遞推關系：2Sn-1=an-12+n （n≥2）②
①-②得：2an=an2-an-12+1
(an-1)2-an-12=0
a_n+1＞a_n＞0
所以：a_n-a_n-1=1（n≥2）
當n=1時：S1=

1

2

a12
解得：a₁=2
所以：a_n=n+1③
當n=1時，a₁=2適合③
故：a_n=n+1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a_n+1=n+2
已知：bn=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=2+

1

n+1

-

1

n+2

T_n=b₁+b₂+…+b_n=2+（

1

2

-

1

3

）+2+（

1

3

-

1

4

）+…+2+（

1

n+1

-

1

n+2

）
=2n+

1

2

-

1

n+2

（Ⅲ）設cn=2n(

an+1

n

-λ)，數(shù)列{c_n}是單調(diào)遞減數(shù)列
所以：c_n＞c_n+1
2n(

n+2

n

-λ)＞2n+1(

n+3

n+1

-λ)
解得：λ＞

n2+n-2

n2+n

所以：λ＞(

n2+n-2

n2+n

)max
當n→+∞時，(

n2+n-2

n2+n

)max≈1
所以：λ＞1

點評：本題考查的知識要點：數(shù)列的遞推關系式，等差數(shù)列的通項公式的應用，裂項相消法的應用，利用遞減數(shù)列求參數(shù)的范圍．