Question

20．在學(xué)校組織的“環(huán)保知識”競賽活動中，甲、乙兩班6名參賽選手的成績的莖葉圖受到不同程度的污損，如圖：
（Ⅰ）求乙班總分超過甲班的概率；
（Ⅱ）若甲班污損的學(xué)生成績是90分，乙班污損的學(xué)生成績?yōu)?7分，現(xiàn)從甲乙兩班所有選手成績中各隨機抽取2個，記抽取到成績高于90分的選手的總?cè)藬?shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)成績．

Answer 1

分析 （Ⅰ）甲班前5位選手的總分為450，乙班前5位選手的總分為443，若乙班總分超過甲班，則甲、乙兩班第六位選手的成績可分別為：（90，98），（90，99），（91，99）三種情況，即可得出乙班總分超過甲班的概率．
（II）（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，利用相互獨立與互斥事件的概率計算公式，進(jìn)而得出分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）甲班前5位選手的總分為：87+89+90+91+93=450，
乙班前5位選手的總分為：82+85+92+91+93=443，
若乙班總分超過甲班，則甲、乙兩班第六位選手的成績可分別為：
（90，98），（90，99），（91，99）三種情況，
∴乙班總分超過甲班的概率P=$\frac{3}{10×10}$=$\frac{3}{100}$．
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{6}^{2}•{∁}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{225}$，
P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{2}^{1}•{∁}_{4}^{1}•{∁}_{2}^{2}+{∁}_{4}^{2}•{∁}_{4}^{1}•{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{6}^{5}•{∁}_{6}^{5}}$=$\frac{56}{225}$，
P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{2}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{1}+{∁}_{4}^{2}{∁}_{4}^{2}}{{∁}_{6}^{2}•{∁}_{6}^{2}}$=$\frac{101}{225}$，
P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{1}+{∁}_{2}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{4}^{2}}{{∁}_{6}^{2}{∁}_{6}^{2}}$=$\frac{56}{225}$，
P（ξ=4）=$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{4}^{2}}{{∁}_{6}^{2}{∁}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{225}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{6}{225}$	$\frac{56}{225}$	$\frac{101}{225}$	$\frac{56}{225}$	$\frac{6}{225}$

∴E（ξ）=0×$\frac{6}{225}$+1×$\frac{56}{225}$+2×$\frac{101}{225}$+3×$\frac{56}{225}$+4×$\frac{6}{225}$=2．

點評 本題考查了莖葉圖的性質(zhì)、相互獨立與互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．