Question

10．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{a^x}-1}}{{{a^x}+1}}（a＞1），g（x）={3^x}$．
（1）若g（a+2）=81，求實數(shù)a的值，并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）用定義證明f（x）在R上的增函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）若g（a+2）=81，可得指數(shù)方程，即可求實數(shù)a的值，利用奇函數(shù)的定義判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)定義法證明步驟證明f（x）在R上的增函數(shù)；
（3）f（x）=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$，即可求函數(shù)f（x）的值域．

解答 （1）解：g（a+2）=3^a+2=81，∴a=2，
∴f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
∴f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明：任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，f（x）=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）}{（{a}^{{x}_{1}}+1）（{a}^{{x}_{2}+1）}}$，
∵a＞1，∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）}{（{a}^{{x}_{1}}+1）（{a}^{{x}_{2}+1）}}$＜0，
∴f（x）在R上的增函數(shù)；
（3）解：f（x）=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$，
∵0＜$\frac{2}{{a}^{x}+1}$＜2，∴-2＜$\frac{2}{{a}^{x}+1}$＜0
∴-1＜f（x）＜1，
∴函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、值域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．