Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁=-3，a₁a₂a₃=729
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{

1

an

}的前n項和為T_n，證明：T_n≤-

2

9

．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式及已知條件即可求出q，從而求得an=(-3)n；
（2）根據(jù)

1

an

=(-

1

3

)n可知，數(shù)列{

1

an

}是首項為-

1

3

，公比為-

1

3

的等比數(shù)列．所以該數(shù)列的前n項和Tn=-

1

4

+

1

4

(-

1

3

)n，而根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性容易知道當(dāng)n=2時，T_n取最大值-

2

9

，所以便有Tn≤-

2

9

．

解答： 解：（1）設(shè){a_n}的公比為q，則：
(a1q)3=729=93，a₁=-3；
∴q=-3；
∴an=(-3)n；
（2）證明：

1

an

=(-

1

3

)n；
∴{

1

an

}是首項為-

1

3

，公比為-

1

3

的等比數(shù)列；
∴Tn=

- 1 3 [1-(- 1 3 )n]

1-(- 1 3 )

=-

1

4

+

1

4

(-

1

3

)n；
要求T_n的最大值，只需求(-

1

3

)n的最大值；
(-

1

3

)n取最大值時，n需是偶數(shù)，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知：
n=2時，(-

1

3

)n取最大值

1

9

，即此時T_n取最大值-

2

9

；
∴Tn≤-

2

9

．

點評：考查等比數(shù)列的通項公式，以及前n項和公式，以及根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷n取何值時，前n項和取最大值．