Question

4．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，當n≥2時，a_n-n=a_n-1+$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$，求a_n．

Answer 1

分析 利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，通過數(shù)列求和求解即可．

解答 解：數(shù)列{a_n}中，a₁=2，當n≥2時，a_n-n=a_n-1+$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$，
可得a₁=2
a₂-2=a₁+$\frac{2}{\sqrt{2}+1}$，
a₃-3=a₂+$\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，
a₄-4=a₃+$\frac{2}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$，
…
a_n-n=a_n-1+$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$，
將上述各式相加可得：
a_n-（2+3+4+…+n）=2+$\frac{2}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{2}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$，
即：a_n-$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$=2（1+$\sqrt{2}-1$+$\sqrt{3}-\sqrt{2}$$+\sqrt{4}-\sqrt{3}$+…+$\sqrt{n}$$-\sqrt{n-1}$）=2$\sqrt{n}$．
a_n=$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$+2$\sqrt{n}$．

點評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．