Question

6．復(fù)數(shù)z滿足z$•\overline{z}$+（1-2i）z+（1+2i）$\overline{z}$=3，求|z|的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)z=a+bi（a，b∈R），則$\overline{z}=a-bi$，代入z$•\overline{z}$+（1-2i）z+（1+2i）$\overline{z}$=3，得（a+1）²+（b+2）²=8．則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以（-1，-2）為圓心，以$2\sqrt{2}$為半徑的圓．?dāng)?shù)形結(jié)合求|z|的最大值．

解答 解：設(shè)z=a+bi（a，b∈R），則$\overline{z}=a-bi$，
代入z$•\overline{z}$+（1-2i）z+（1+2i）$\overline{z}$=3，得
（a²+b²+2a+4b）+（b-2a-b+2a）i=3，
即a²+b²+2a+4b=3，化為（a+1）²+（b+2）²=8．
∴z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以（-1，-2）為圓心，
以$2\sqrt{2}$為半徑的圓．
∴|z|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
則|z|的最大值為$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}+2\sqrt{2}=\sqrt{5}+2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是中檔題．