Question

定義運算?，若點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則P?Q=x₁x₂-y₁y₂，已知P=（cosA，1），點Q=（4，-1），若P?Q=-1，且角A為鈍角．
（1）求角A；
（2）求函數(shù)f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,函數(shù)的值域

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的求值

分析：（1）根據(jù)已知可求得cosA=-

1

2

，即可確定A的值；
（2）先求得sinx∈[-1，1]，化簡可求解析式f（x）=-2sin²x-2sinx+1，根據(jù)二次函數(shù)f（x）的圖象是拋物線，對稱軸sinx=-

1

2

，求出f（x）的最小值與最大值，從而得值域．

解答： 解：（1）∵由題意得：P?Q=4cosA+1=-1，可求得cosA=-

1

2

，
∵角A為鈍角．
∴A=

2π

3

．
（2）∵x∈R
∴sinx∈[-1，1]
∵f（x）=cos2x+4cosAsinx=cos2x-2sinx=-2sin²x-2sinx+1
∴令t=sinx，則g（t）=-2t²-2t+1
∵二次函數(shù)g（t）=-2t²-2t+1的圖象是拋物線，對稱軸是t=-

1

2

，
∴當t∈[-1，1]時，g（t）有最大值是f（

1

2

）=

3

2

，最小值是f（1）=-3，
∴f（x）=cos2x+4cosAsinx的值域是[-3，

3

2

]；

點評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應用，函數(shù)的值域的求法，屬于基本知識的考查．