Question

13．已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以頂點A為端點的三條棱長都等于2，且兩兩夾角為60°，則對角線BD₁的長度為（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}+2$

Answer 1

分析 根據(jù)平行六面體法則可得：$\overrightarrow{{BD}_{1}}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{{BB}_{1}}$+$\overrightarrow{BC}$，先求出兩兩向量的夾角，再利用模的計算公式即可得出

解答 解：∵共頂點A的三條棱兩兩所成的角為60°，
∴∠ABC=120°=∠ABB₁，∠CBB₁=60°，
又各條棱長均為2，
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{{BB}_{1}}$=2×2×cos120°=-2，$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{{BB}_{1}}$=2×2×cos60°=2．
∵$\overrightarrow{{BD}_{1}}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{{BB}_{1}}$+$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{{BD}_{1}}$²=（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{{BB}_{1}}$+$\overrightarrow{BC}$）²=$\overrightarrow{BA}$²+$\overrightarrow{{BB}_{1}}$²+$\overrightarrow{BC}$²+2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{{BB}_{1}}$+2 $\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+2 $\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{{BB}_{1}}$=4+4+4+2×（-2）×2+2×2=8，
∴|$\overrightarrow{{BD}_{1}}$|=2$\sqrt{2}$．
故選：A．

點評 本題考查的知識點是向量在幾何中的應用，熟練掌握平行六面體法則及模的計算公式是解題的關鍵