Question

2．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，過點(diǎn)A作平面A₁BD的垂線，垂足為點(diǎn)H，給出以下命題：①H是△A₁BD的垂心；②AH垂直于平面CB₁D₁；③AH的延長線過點(diǎn)C₁；④直線AH和BB₁所成角的大小為45°，其中正確的命題個數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 首先，判斷三棱錐 A-BA₁D為正三棱錐，然后，得到△BA₁D為正三角形，得到H為A在平面A₁BD內(nèi)的射影，然后，根據(jù)平面A₁BD⊥平面BC₁D，得到②正確，最后，結(jié)合線面角和對稱性求解．

解答 解：∵AB=AA₁=AD，BA₁=BD=A₁D，
∴三棱錐 A-BA₁D為正三棱錐，
∴點(diǎn)H是△A₁BD的垂心，故①為真命題；
∵平面A₁BD與平面B₁CD₁平行，
∵AH⊥平面A₁BD，
∵平面A₁BD⊥平面BC₁D，
∴AH垂直平面CB₁D₁，故②為真命題；
根據(jù)正方體的對稱性得到AH的延長線經(jīng)過C₁，故③為真命題
∵AA₁∥BB₁，∴∠A₁AH就是直線AH和BB₁所成角，
在直角三角形AHA₁中，
∵AA₁=1，A₁H=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sin∠A₁AH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，故④為假命題；
故選：C．

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了正方體的幾何特征，線面垂直，直線與平面的夾角等知識點(diǎn)，難度中檔．