Question

【題目】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，以原點(diǎn)為圓心，短半軸長(zhǎng)為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的兩焦點(diǎn)，且該圓截直線所得的弦長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)定點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)、，橢圓上的點(diǎn)滿足，試求的面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)圓和橢圓的位置關(guān)系得到，根據(jù)圓截直線所得的弦長(zhǎng)求得，由此求得，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，消去并寫出判別式和根與系數(shù)關(guān)系，由求得點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此求得的值，從而求得的值，進(jìn)而求得三角形的面積.

（1）以原點(diǎn)為圓心，短半軸長(zhǎng)為半徑的圓的方程為.

∵圓過(guò)橢圓的兩焦點(diǎn)，∴.

∵圓截直線所得的弦長(zhǎng)為.

∴，解得.

∴.

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為.兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，

聯(lián)立方程，得，，

∴，，

∵，∴點(diǎn)，

∵點(diǎn)在橢圓上，∴有，

即，

∴，

即，解得，

∴，

∴.