Question

如圖，三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長(zhǎng)是，D是AC的中點(diǎn)。

（1）求證：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求直線與平面所成的角的正弦值.

 

Answer 1

（1）見解析（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）由題意及題中P為AB1中點(diǎn)和D為AC中點(diǎn)，中點(diǎn)這樣信息，得到線線PD∥B1C平行，在利用PD∥平面A1BD線面平行，利用線面平行的判定定理得到線面B1C∥平面A1BD平行；

（2）有正三棱柱及二面角平面角的定義，找到二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大��；

（3）利用條件及上兩問的證題過成找到∠APM就是直線A1B與平面A1BD所成的線面角，然后再三角形中解出即可．

試題解析：解法一：

（1）設(shè)與相交于點(diǎn)P，連接PD，則P為中點(diǎn) 1分

D為AC中點(diǎn)，PD//， 3分

又PD平面D，//平面D 4分

（2）正三棱住， 底面ABC，又BDAC，BD，就是二面角的平面角 6分

=，AD=AC=1，tan =

=, 即二面角的大小是 8分

（3）由（2）作AM，M為垂足 9分

BDAC，平面平面ABC，平面平面ABC=AC

BD平面，AM平面，BDAM

又BD = D，AM平面， 10分

連接MP，則就是直線與平面D所成的角 11分

=，AD=1，在RtD中，=，

，，

直線與平面D所成的角的正弦值為 13分

解法二：

（1）同解法一 4分

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）=（1，，），=（1，0，） 5分

設(shè)平面的法向量為n=（x，y，z）

則n

n，則有，得n=（，0，1） 6分

由題意，知=（0，0，）是平面ABD的一個(gè)法向量.

設(shè)n與所成角為，則， 7分

又，，即二面角的大小是 8分

（3）由已知得=（1，，）, n=（，0，1） 9分

則 12分

直線與平面D所成的角的正弦值為 13分

考點(diǎn)：1.與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；2.直線與平面平行的判定；3.直線與平面所成的角．