Question

3．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱B₁C₁，A₁D₁的中點，求證：平面ABB₁A₁與平面CDFE相交．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面DCEF的法向量和平面ABB₁A₁的法向量，利用向量法能證明平面ABB₁A₁與平面CDFE相交．

解答 證明：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
則D（0，0，0），C（0，2，0），F(xiàn)（1，0，2），
$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{DF}$=（1，0，2），
設平面DCEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=x+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-2，0，1），
又平面ABB₁A₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{3}}$=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴平面ABB₁A₁與平面CDFE相交．

點評 本題考查兩平面相交的證明，是基礎題，解題時要注意向量法的合理運用．