Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，給出下面關于f（x）的判斷：
①f（x）是周期函數(shù)；　
②f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
③f（x）在[1，2]上是減函數(shù)；
④f（x）關于直線x=1對稱．
其中正確判斷的序號為________（寫出所有正確判斷的序號）．

Answer 1

①④
分析：由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=f（x），即可得周期T，可判斷①；
由f（x）為偶函數(shù)且在[-1，0]上單增可得f（x）在[0，1]上的單調(diào)性，可判斷②；
再根據(jù)周期函數(shù)的性質，且在[-1，0]上是增函數(shù)，推出y=f（x）的圖象關于x=1對稱，故f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，可判斷③④．
解答：由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），即可得周期T=2，故①正確；
由f（x）為偶函數(shù)且在[-1，0]上單增可得f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，故②錯；
由于f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，
又∵f（x+2）=f（x）=f（-x），
∴y=f（x）的圖象關于x=1對稱，故f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，f（2）=f（0），故③錯，④正確．
故答案為：①④
點評：本題考查函數(shù)的周期性，函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，函數(shù)奇偶性的應用，考查學生分析問題解決問題的能力，是基礎題．