Question

3．已知向量$\overrightarrow m=（2cosωx，-1），\overrightarrow n=（sinωx-cosωx，2）$（ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n+3$，若函數(shù)f（x）的圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱(chēng)中心的距離為$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若將函數(shù)f（x）的圖象先向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，當(dāng)$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$時(shí)，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用張弦函數(shù)的定義域和值域，求得g（x）的值域．

解答 解：（1）f（x））=$\overrightarrow m•\overrightarrow n+3$=2cosωx（sinωx-cosωx）-2+3=sin2ωx-cos2ωx=$\sqrt{2}sin（2ωx-\frac{π}{4}）$，
∵$T=π∴\frac{2π}{2ω}=π∴ω=1$，∴$f（x）=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，求得f（x）的增區(qū)間為 $[{-\frac{π}{8}+kπ，\frac{3π}{8}+kπ}]k∈z$．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象先向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，得到y(tǒng)=$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象；
然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍，得到函數(shù)g（x）=$\sqrt{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$）的圖象，
故$g（x）=\sqrt{2}sin（4x+\frac{π}{4}）$，
∵$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}∴\frac{5π}{4}≤4x+\frac{π}{4}≤\frac{9π}{4}$，
、∴$-1≤sin（4x+\frac{π}{4}）≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故函數(shù)g（x）的值域是$[{-\sqrt{2}，1}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．