Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²的圖象經(jīng)過點A（1，3），曲線在點A處的切線恰好與直線x+7y=0垂直．
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m-1，m]上單調(diào)遞減，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）f（x）=ax³+bx²的圖象經(jīng)過點A（1，3）⇒a+b=3①；f′（1）=3a+2b，f′（1）•（-）=-1②，①②聯(lián)立即可求得實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）由f′（x）=3x²+4x≤0⇒-≤x≤0，函數(shù)f（x）在區(qū)間[m-1，m]上單調(diào)遞減⇒[m-1，m]⊆[-，0]，從而可求得m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²的圖象經(jīng)過點A（1，3）
∴a+b=3---（1分）
∵f′（x）=3ax²+2bx，
∴f′（1）=3a+2b-------------（2分）
由已知條件知f′（1）•（-）=-1，
即3a+2b=7-------------（4分）
∴解得：-------------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x³+2x²，f′（x）=3x²+4x，
令f′（x）=3x²+4x≤0，則-≤x≤0--------------（8分）
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[m-1，m]上單調(diào)遞減，
∴[m-1，m]⊆[-，0]，
∴，即-≤m≤0---------------（12分）
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查方程思想與集合的包含關(guān)系，考查分析運算能力，屬于中檔題．