Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=

1

4

（a_n+1）²（n∈N^*）．
（1）求a₁、a₂；
（2）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（3）令b_n=a_n-19，問數(shù)列{b_n}的前多少項(xiàng)的和最小？最小值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）直接在數(shù)列遞推式中取n=1，2求解a₁、a₂；
（2）在數(shù)列遞推式中取n=n-1，得另一遞推式后作差，整理即可證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（3）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=a_n-19，得到數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，寫出其前n項(xiàng)和公式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和的最小值．

解答： （1）解：由S_n=

1

4

（a_n+1）²，
取n=1得，a1=

1

4

(a1+1)2，即(a1-1)2=0，a₁=1．
取n=2得，a1+a2=

1

4

(a2+1)2，即a₂=-1（舍），或a₂=3；
（2）證明：由S_n=

1

4

（a_n+1）² ①
取n=n-1，得Sn-1=

1

4

(an-1+1)2 （n≥2）②
①-②得，an=

1

4

[(an+1)2-(an-1+1)2]，
整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=2 （n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（3）由a₁=1，a_n-a_n-1=2 （n≥2）．
得a_n=1+2（n-1）=2n-1，
又b_n=a_n-19，
∴b_n=2n-1-19=2n-20，
∴b₁=-18，
又b_n+1-b_n=2（n+1）-20-2n+20=2，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為-18，公差為2的等差數(shù)列．
則其前n項(xiàng)和Tn=-18n+

2n(n-1)

2

=n2-19n．
對(duì)稱軸方程為n=

19

2

，
∴數(shù)列{b_n}的前9項(xiàng)和等于前10項(xiàng)和且最小，最小值為10²-190=-90．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了利用數(shù)列的函數(shù)特性求數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，是中檔題．