在△ABC中，已知
AB
•
CA
=
BA
•
CB
=-1．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）求AB邊的長；
（3）若|
AB
+
AC
|=
6
，求△ABC的面積．
分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積公式，化簡已知等式可得|
AC
|cosA=|
BC
|cosB，結(jié)合正弦定理得sin（A-B）=0，從而得到A=B，得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形；
（2）過C作CD⊥AB于D，由直角三角形三角函數(shù)的定義，結(jié)合
AB
•
CA
=-1化簡可得-
1
2
|
AB
|2=-1，從而算出|
AB
|=
2
，得到AB邊的長；
（3）取BC中點E，連接AE，可得中線AE的長為
6
2
，設(shè)AC=BC=x，利用三角形中線滿足的平方關(guān)系列式，得6+x2=2（x2+2），解得x=
2
，得△ABC是邊長等于
2
的等邊三角形，從而得到△ABC的面積S=
3
2
．
解答：解：（1）∵
AB
•
CA
=
BA
•
CB

∴|
AB
|•|
AC
|cos（π-A）=|
AB
|•|
BC
|cos（π-B）
可得|
AC
|cosA=|
BC
|cosB，即bcosA=acosB
根據(jù)正弦定理，得sinBcosA=sinAcosB，
∴sin（A-B）=0，結(jié)合A-B∈（0，π）得A-B=0
因此A=B，得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形；
（2）過C作CD⊥AB于D
∵△ABC中，CA=CB，∴D為AB中點
由此可得
AB
•
CA
=-|
AB
|•|
AC
|cosA=-1
即-|
AB
|•|
AC
|•
|
AD
|
|
AC
|
=-1，得-
1
2
|
AB
|2=-1
∴|
AB
|2=2，得|
AB
|=
2
，即AB邊的長為
2
；
（3）取BC中點E，連接AE
∵
AB
+
AC
=2
AE
，|
AB
+
AC
|=
6
，∴|
AE
|=
6
2

設(shè)AC=BC=x，得（2AE）2+x2=2（x2+AB2）
即6+x2=2（x2+2），解得x=
2
，可得△ABC是邊長等于
2
的等邊三角形，
∴△ABC的面積S=
3
4
×（
2
）2=
3
2
．
點評：本題給出等腰三角形滿足的向量關(guān)系式，求它的底邊之長并在已知腰上中線長的情況下求三角形的面積，著重考查了正、余弦定理解三角形和向量的數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求tg（
A
2
）+
3
tg（
A
2
）tg（
C
2
）+tg（
C
2
）的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知A=45°，a=2，b=
2
，則B等于（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知a=
3
，b=
2
，1+2cos（B+C）=0，求：
（1）角A，B； 
（2）求BC邊上的高．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知A=60°，
AB
•
AC
=1，則△ABC的面積為
3
2
3
2
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知a=1，b=2，cosC=
34
．
（1）求AB的長；
（2）求sinA的值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案