Question

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求三棱錐H-BDF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由菱形性質(zhì)得AC⊥BD，由面面垂直和矩形性質(zhì)得ED⊥平面ABCD，從而ED⊥AC．由此能證明AC⊥平面BDEF．
（Ⅱ）取BC得中點P，連接DP．由V_H-BDF=V_D-BFH，利用等積法能求出三棱錐H-BDF的體積．

解答： （Ⅰ）證明：因為四邊形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD．
因為平面BDEF⊥平面ABCD，且四邊形BDEF是矩形，
所以 ED⊥平面ABCD，…（3分）
又因為AC?平面ABCD，
所以ED⊥AC．
因為ED∩BD=D，所以AC⊥平面BDEF．…（5分）
（Ⅱ）解：取BC得中點P，連接DP．
因為四邊形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，
所以△DBC為等邊三角形，所以DP⊥BC，
且DP=

3

2

BC=

3

．…（7分）
又由（1）知FB⊥平面ABCD且DP?平面ABCD，
所以DP⊥FB，又FB∩BC=B，
所以DP⊥平面FBC，S△BFH=

1

2

S△BFC=

1

2

×

1

2

×BC×BF=

3

2

，…（10分）
所以VH-BDF=VD-BFH=

1

3

×S△BFH×DP=

1

3

×

3

2

×

3

=

3

2

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查棱錐體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．