Question

已知點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足：∠APB=2θ，且|PA|•|PB|cos²θ=1．（P不在線段AB上）
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過橢圓的上頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另外一點(diǎn)P、Q，試問直線PQ是否經(jīng)過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）討論點(diǎn)P在x軸上且在線段AB外時(shí)，求出點(diǎn)P，點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，求出點(diǎn)P的軌跡，
從而得出點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)出直線AP的方程y=kx+1，代入橢圓方程，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，
再求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，得直線PQ的方程，判斷PQ是否過定點(diǎn)即可．

解答： 解：（1）①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且在線段AB外時(shí)，θ=0，設(shè)P（p，0），
由|PA|•|PB|cos²θ=1，得（p+1）（p-1）=1，
∴p=±

2

∴P(±

2

，0)；…（3分）
②當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，
在△PAB中，由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，
∴4=（|PA|+|PB|）²-2|PA|•|PB|（1+cos2θ）
=（|PA|+|PB|）²-4|PA|•|PB|cos²θ
=（|PA|+|PB|）²-4；
∴|PA|+|PB|=2

2

＞2=|AB|，即動(dòng)點(diǎn)P在以A、B為兩焦點(diǎn)的橢圓上，
方程為：

x2

2

+y²=1（x≠±

2

）；
綜和①②可知：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為：

x2

2

+y²=1；…（6分）
（2）顯然，兩直線斜率存在，設(shè)AP：y=kx+1，
代入橢圓方程，得（1+2k²）x²+4kx=0，…（8分）
解得點(diǎn)P(

-4k

1+2k2

，

1-2k2

1+2k2

)，
同理得Q(

4k

2+k2

，

k2-2

2+k2

)，
直線PQ：y-

k2-2

2+k2

=

k2-1

3k

(x-

4k

2+k2

)，…（10分）
化簡得y=

k2-1

3k

x-

1

3

；
令x=0，得y=-

2

3

，
∴直線PQ過定點(diǎn)(0，-

1

3

)…（12分）

點(diǎn)評：本題考查了求點(diǎn)的軌跡的問題，也考查了直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題，是中檔題目．