Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，BC=1，AB=

2

，BB₁=2，點E是棱CC₁中點．
（1）求證：EB₁⊥平面ABE；
（2）若二面角B-AE-A₁的大小為銳角α，求cosα．

Answer 1

分析：（1）要證EB₁⊥平面ABE，只需證EB₁垂直平面ABE內(nèi)的兩條相交直線即可，利用已知的三棱柱為直三棱柱，且AB⊥AC證得AB⊥EB₁，然后通過解直角三角形證出EB₁⊥EB，最后由線面垂直的判定得答案；
（2）通過建立空間直角坐標系求出二面角B-AE-A₁的兩個半平面所在平面的法向量，由法向量所成角的余弦值求得答案．

解答：（1）證明：∵AA₁⊥底面ABC，AA₁∥BB₁
∴BB₁⊥底面ABC，∴AB⊥BB₁，又AB⊥BC
∴AB⊥BB₁C₁C，∴AB⊥EB₁
又EB2+FB12=BB12，∴EB₁⊥EB
∴EB₁⊥平面ABE              
（2）解：分別以射線BA、BC、BB₁為x軸、y軸、z軸正半軸建立空間直角坐標系B-xyz
則B（0，0，0），A（

2

，0，0），E(0，1，1)，A1(

2

，0，2)，B1(0，0，2)．
由（1）知平面ABE的法向量為

EB1

=(0，-1，1)．
設(shè)平面AA₁E的法向量為

m

=(x，y，z)，又

AA1

=(0，0，2)，

A1E

=(-

2

，1，-1)   
由

m • AA1 =0 m • A1E =0

，即

z=0 2 x-y+z=0

，令y=

2

得：

m

=(1，

2

，0)．
∴cosα=

EB1 • m

| EB1 | | m |

=

3

3

．

點評：本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了利用空間向量求二面角的大小，解答的關(guān)鍵是建立正確的空間右手系，是中檔題．