Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，AA₁=1=AB=2點(diǎn)E是AB上的動點(diǎn)，點(diǎn)M為D₁C的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)E點(diǎn)在何處時，直線ME∥平面ADD₁A₁，并證明你的結(jié)論；
（2）在（Ⅰ）成立的條件下，求二面角A-D₁E₁-C的大�。�

Answer 1

分析：（1）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時，取DD₁ 的中點(diǎn)N，證明四邊形MNAE為平行四邊形，即可證得ME∥平面AD₁．
（2）先求得二面角 D-D₁E-C的大小為

π

2

；二面角 A-D₁E-C的大小為二面角A-D₁E-D與二面角D-D₁E-C 大小的和．求出二面角A-D₁E-D的平面角的大小，即可得到所求的二面角A-D₁E-C的大�。�

解答：解：（1）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時，ME∥平面ADD₁A₁．
證明：取 DD₁ 的中點(diǎn)N，連接MN、AN、ME，
MN∥

1

2

CD，AE∥

1

2

CD，且MN=

1

2

CD，AE=

1

2

CD，
∴四邊形MNAE為平行四邊形，可知ME∥AN．
∵AN在平面AD₁ 內(nèi)，∴ME∥平面AD₁，
（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時，DE=

2

，CE=

2

，又CD=2，可知∠DEC=90°，
所以，DE⊥EC，平面 CED₁⊥平面DD₁E，所以，二面角 D-D₁E-C的大小為

π

2

；
又二面角 A-D₁E-C的大小為二面角A-D₁E-D與二面角D-D₁E-C 大小的和，
只需求二面角A-D₁E-D的大小即可；過A點(diǎn)作AF⊥DE，交DE于F，則AF⊥平面DD₁E，AF=

2

2

，
過F作 FH⊥D₁E于H，連接AH，則∠AHF即為二面角A-D₁E-D的平面角，∵AH•D₁E=AE•AD₁，∴AH=

6

3

，
∴sin∠AHF=

3

2

，∴∠AHF=

π

3

．
所以二面角A-D₁E-C的大小為

π

2

+

π

3

=

5π

6

．

點(diǎn)評：本題考查證明線面平行的方法，求二面角的大小，找到二面角的平面角是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．