Question

17．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E、F、G分別是棱A₁B₁、AB、A₁D₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：GE⊥平面FCC₁；
（Ⅱ）求二面角B-FC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析 取AF的中點(diǎn)M，連接DM，得DM⊥CD．以DM，DC，DD₁所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解．

解答 解：因?yàn)锳B=4，BC=CD=2，F(xiàn)是棱AB的中點(diǎn)，
所以BF=BC=CF，△BCF為正三角形，因?yàn)锳BCD為等腰梯形，
所以∠BAD=∠ABC=60°，取AF的中點(diǎn)M，
連接DM，則DM⊥AB，所以DM⊥CD．
以DM，DC，DD₁所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則D（0，0，0），$A（\sqrt{3}，-1，0）$，$F（\sqrt{3}，1，0）$C（0，2，0），C₁（0，2，2），$E（\sqrt{3}，1，2）$，$G（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{1}{2}，2）$，$B（\sqrt{3}，3，0）$，
所以$\overrightarrow{CF}=（\sqrt{3}，-1，0）$，$\overrightarrow{C{C_1}}=（0，0，2）$，$\overrightarrow{F{C_1}}=（-\sqrt{3}，1，2）$．
設(shè)平面CC₁F的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{CF}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{C{C_1}}=0\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y=0\\ z=0\end{array}\right.$取$\overrightarrow n=（1，\sqrt{3}，0）$．
（Ⅰ）證明：GE的方向向量為$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}，0）$，
∵$\overrightarrow{GE}∥\overrightarrow n$，∴GE⊥平面FCC₁．
（Ⅱ）解：$\overrightarrow{FB}=（0，2，0）$，設(shè)平面BFC₁的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{FB}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{F{C_1}}=0\end{array}\right.$
所以$\left\{\begin{array}{l}{y_1}=0\\-\sqrt{3}{x_1}+{y_1}+2{z_1}=0\end{array}\right.$取$\overrightarrow{n_1}=（2，0，\sqrt{3}）$，
則$\overrightarrow n•\overrightarrow{n_1}=2×1-\sqrt{3}×0+0×\sqrt{3}=2$，$|\overrightarrow n|=\sqrt{1+{{（\sqrt{3}）}^2}}=2$，$|\overrightarrow{n_1}|=\sqrt{{2^2}+0+{{（\sqrt{3}）}^2}}=\sqrt{7}$，
所以$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{n_1}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{n_1}}}{{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow{n_1}|}}=\frac{2}{{2×\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{7}}}{7}$，由圖可知二面角B-FC₁-C為銳角，
所以二面角B-FC₁-C的余弦值為$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間線面垂直的判定，向量法求二面角，屬于中檔題．