Question

6．某廠家計劃在2016年舉行商品促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該商品的年銷售量m萬件與年促銷費用x萬元滿足：m=3-$\frac{2}{x+1}$，已知2016年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家的產(chǎn)量等于銷售量，而銷售收入為生產(chǎn)成本的1.5倍（生產(chǎn)成本由固定投入和再投入兩部分資金組成）．
（1）將2016年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用x萬元的函數(shù)；
（2）該廠2016年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

Answer 1

分析 （1）由題目中，每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×$\frac{8+16m}{m}$（萬元），則利潤y=m[1.5×$\frac{8+16m}{m}$]-（8+16m+x），整理即可．
（2）對（1）利潤函數(shù)y=-[$\frac{16}{x+1}$+（x+1）]+29（x≥0），利用基本不等式求最大值即可．

解答 解：（1）由題意知，每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×$\frac{8+16m}{m}$（萬元），
∴利潤函數(shù)y=m[1.5×$\frac{8+16m}{m}$]-（8+16m+x）
=4+8m-x=-[$\frac{16}{x+1}$+（x+1）]+29（x≥0）．
（2）因為利潤函數(shù)y=-[$\frac{16}{x+1}$+（x+1）]+29（x≥0），
所以，當(dāng)x≥0時，$\frac{16}{x+1}$+（x+1）≥8，
∴y≤-8+29=21，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{16}{x+1}$=x+1，即x=3（萬元）時，y_max=21（萬元）．
所以，該廠家2016年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元．

點評 本題考查了商品利潤函數(shù)模型的應(yīng)用，也考查了基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0）的靈活運用，是中檔題．目．