【題目】已知動點(diǎn)M(x,y)滿足,點(diǎn)M的軌跡為曲線E.

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過點(diǎn)F(1,0)作直線交曲線E于P,Q兩點(diǎn),交軸于R點(diǎn),若,證明:為定值.

【答案】(1);(2)-4.

【解析】分析:(Ⅰ)由,根據(jù)橢圓的定義可得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓,可求得,從而可得曲線的方程;(II)設(shè),點(diǎn)在曲線上可得…,①同理可得…,②,由①②可得是方程的兩個(gè)根,為定值.

詳解(Ⅰ)由,

可得點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)A(﹣1,0),B(1,0)的距離等于之和等于

且AB,所以動點(diǎn)N的軌跡是以C(﹣1,0),A(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓,

且長軸長為,焦距2c=2,所以,c=1,b=1,曲線E的方程為:

(Ⅱ)法1:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),R(0,y0),

,(x1,y1﹣y0)=λ1(1﹣x1,﹣y1),∴

∵過點(diǎn)F(1,0)作直線l交曲線E于P,∴,

…①

同理可得:…②

由①②可得λ1、λ2是方程x2+4x+2﹣2y02=0的兩個(gè)根,∴λ12為定值﹣4.

法2:依題意得的斜率一定存在,設(shè)斜率為k,

則直線方程為代入橢圓方程得:

設(shè),則,

得:

同理得:

為定值。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知點(diǎn)F(1,0),點(diǎn)A是直線l1:x=﹣1上的動點(diǎn),過A作直線l2 , l1⊥l2 , 線段AF的垂直平分線與l2交于點(diǎn)P. (Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)M,N是直線l1上兩個(gè)不同的點(diǎn),且△PMN的內(nèi)切圓方程為x2+y2=1,直線PF的斜率為k,求 的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)點(diǎn)M(x1 , f(x1))和點(diǎn)N(x2 , g(x2))分別是函數(shù)f(x)=ex x2和g(x)=x﹣1圖象上的點(diǎn),且x1≥0,x2>0,若直線MN∥x軸,則M,N兩點(diǎn)間的距離的最小值為(
A.1
B.2
C.3
D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的分別為a,b,c,且acosB=(3c﹣b)cosA.
(1)若asinB=2 ,求b;
(2)若a=2 ,且△ABC的面積為 ,求△ABC的周長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】北京某附屬中學(xué)為了改善學(xué)生的住宿條件,決定在學(xué)校附近修建學(xué)生宿舍,學(xué)?倓(wù)辦公室用1000萬元從政府購得一塊廉價(jià)土地,該土地可以建造每層1000平方米的樓房,樓房的每平方米建筑費(fèi)用與建筑高度有關(guān),樓房每升高一層,整層樓每平方米建筑費(fèi)用提高0.02萬元,已知建筑第5層樓房時(shí),每平方米建筑費(fèi)用為0.8萬元.

(1)若學(xué)生宿舍建筑為層樓時(shí),該樓房綜合費(fèi)用為萬元,綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購地費(fèi)用之和),寫出的表達(dá)式;

(2)為了使該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低,學(xué)校應(yīng)把樓層建成幾層?此時(shí)平均綜合費(fèi)用為每平方米多少萬元?

【答案】(1);(2)學(xué)校應(yīng)把樓層建成層,此時(shí)平均綜合費(fèi)用為每平方米萬元

【解析】

由已知求出第層樓房每平方米建筑費(fèi)用為萬元,得到第層樓房建筑費(fèi)用,由樓房每升高一層,整層樓建筑費(fèi)用提高萬元,然后利用等差數(shù)列前項(xiàng)和求建筑層樓時(shí)的綜合費(fèi)用;

設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為,則,然后利用基本不等式求最值.

解:由建筑第5層樓房時(shí),每平方米建筑費(fèi)用為萬元,

且樓房每升高一層,整層樓每平方米建筑費(fèi)用提高萬元,

可得建筑第1層樓房每平方米建筑費(fèi)用為:萬元.

建筑第1層樓房建筑費(fèi)用為:萬元

樓房每升高一層,整層樓建筑費(fèi)用提高:萬元

建筑第x層樓時(shí),該樓房綜合費(fèi)用為:

;

設(shè)該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為,

則:,

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),上式等號成立.

學(xué)校應(yīng)把樓層建成10層,此時(shí)平均綜合費(fèi)用為每平方米萬元.

【點(diǎn)睛】

本題考查簡單的數(shù)學(xué)建模思想方法,訓(xùn)練了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求法,訓(xùn)練了利用基本不等式求最值,是中檔題.

型】解答
結(jié)束】
20

【題目】已知

(1)求函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程;

(2)若,求的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知

(1)求函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程;

(2)若,求的值域.

【答案】(1)對稱軸為,最小正周期;(2)

【解析】

(1)利用正余弦的二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)解析式進(jìn)行化簡得到,由周期公式和對稱軸公式可得答案;(2)由x的范圍得到,由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得到值域.

(1)

,則

的對稱軸為,最小正周期;

(2)當(dāng)時(shí),,

因?yàn)?/span>單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,

取最大值,在取最小值,

所以,

所以

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦函數(shù)圖像的性質(zhì),考查周期性,對稱性,函數(shù)值域的求法,考查二倍角公式以及輔助角公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

型】解答
結(jié)束】
21

【題目】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,公比,,

(1)求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè),求的前項(xiàng)和

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(x2+ax+a). (I)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式f(x)≤ea在[a,+∞)上有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù).

(1)求a的值和函數(shù)f(x)的定義域;

(2)解不等式f(-m2+2m-1)+f(m2+3)<0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,居民收入逐年增大,下表是該地一農(nóng)業(yè)銀行連續(xù)五年的儲蓄存款(年底余額),如下表:

為了研究方便,工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理,,得到下表:

1)求關(guān)于的線性回歸方程;

2)求關(guān)于的線性回歸方程;

3)用所求回歸方程預(yù)測,到2020年底,該地儲蓄存款額大約可達(dá)多少?

(附:線性回歸方程:,

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