【題目】已知集合M是滿足下列性制的函數(shù)f(x)的全體,存在實(shí)數(shù)a、k(k≠0),對(duì)于定義域內(nèi)的任意x均有f(a+x)=kf(a﹣x)成立,稱數(shù)對(duì)(a,k)為函數(shù)f(x)的“伴隨數(shù)對(duì)”.
(1)判斷f(x)=x2是否屬于集合M,并說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)=sinx∈M,求滿足條件的函數(shù)f(x)的所有“伴隨數(shù)對(duì)”;
(3)若(1,1),(2,﹣1)都是函數(shù)f(x)的“伴隨數(shù)對(duì)”,當(dāng)1≤x<2時(shí),f(x)=cos( x);當(dāng)x=2時(shí),f(x)=0,求當(dāng)2014≤x≤2016時(shí),函數(shù)y=f(x)的解析式和零點(diǎn).
【答案】
(1)解:f(x)=x2的定義域?yàn)镽.
假設(shè)存在實(shí)數(shù)a、k(k≠0),對(duì)于定義域內(nèi)的任意x均有f(a+x)=kf(a﹣x)成立,
則(a+x)2=k(a﹣x)2,化為:(k﹣1)x2﹣2a(k+1)x+a2(k﹣1)=0,
由于上式對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都成立,∴ ,解得k=1,a=0.
∴(0,1)是函數(shù)f(x)的“伴隨數(shù)對(duì)”,f(x)∈M
(2)解:∵函數(shù)f(x)=sinx∈M,
∴sin(a+x)=ksin(a﹣x),∴(1+k)cosasinx+(1﹣k)sinacosx=0,
∴ sin(x+φ)=0,
∵x∈R都成立,∴k2+2kcos2a+1=0,
∴cos2a= , ≥2,
∴|cos2a|≥1,又|cos2a|≤1,
故|cos2a|=1.
當(dāng)k=1時(shí),cos2a=﹣1,a=nπ+ ,n∈Z.
當(dāng)k=﹣1時(shí),cos2a=1,a=nπ,n∈Z.
∴f(x)的“伴隨數(shù)對(duì)”為(nπ+ ,1),(nπ,﹣1),n∈Z
(3)解:∵(1,1),(2,﹣1)都是函數(shù)f(x)的“伴隨數(shù)對(duì)”,
∴f(1+x)=f(1﹣x),f(2+x)=﹣f(2﹣x),
∴f(x+4)=f(x),T=4.
當(dāng)0<x<1時(shí),則1<2﹣x<2,此時(shí)f(x)=f(2﹣x)=﹣cos ;
當(dāng)2<x<3時(shí),則1<4﹣x<2,此時(shí)f(x)=﹣f(4﹣x)=﹣cos ;
當(dāng)3<x<4時(shí),則0<4﹣x<1,此時(shí)f(x)=﹣f(4﹣x)=cos .
∴f(x)= .
∴f(x)= .
∴當(dāng)2014≤x≤2016時(shí),函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)為2014,2015,2016
【解析】(1)f(x)=x2的定義域?yàn)镽.假設(shè)存在實(shí)數(shù)a、k(k≠0),對(duì)于定義域內(nèi)的任意x均有f(a+x)=kf(a﹣x)成立,則(a+x)2=k(a﹣x)2 , 化為:(k﹣1)x2﹣2a(k+1)x+a2(k﹣1)=0,由于上式對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都成立,可得 ,解得k,a.即可得出.(2)函數(shù)f(x)=sinx∈M,可得:sin(a+x)=ksin(a﹣x),展開化為: sin(x+φ)=0,由于x∈R都成立,可得k2+2kcos2a+1=0,變形cos2a= ,利用基本不等式的性質(zhì)與三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出.(3)由于(1,1),(2,﹣1)都是函數(shù)f(x)的“伴隨數(shù)對(duì)”,可得f(1+x)=f(1﹣x),f(2+x)=﹣f(2﹣x),因此f(x+4)=f(x),T=4.對(duì)x分類討論可得:即可得出解析式,進(jìn)而得出零點(diǎn).
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的值的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握函數(shù)值的求法:①配方法(二次或四次);②“判別式法”;③反函數(shù)法;④換元法;⑤不等式法;⑥函數(shù)的單調(diào)性法才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在(﹣4,4)上的奇函數(shù),滿足f(2)=1,當(dāng)﹣4<x≤0時(shí),有f(x)=.
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)若f(m+1)+>0.求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)列An(an , bn)(n∈N*)均為函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象上,點(diǎn)列Bn(n,0)滿足|AnBn|=|AnBn+1|,若數(shù)列{bn}中任意連續(xù)三項(xiàng)能構(gòu)成三角形的三邊,則a的取值范圍為( )
A.(0, )∪( ,+∞)
B.( ,1)∪(1, )
C.(0, )∪( ,+∞)
D.( ,1)∪(1, )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,其中a∈R.
(1)根據(jù)a的不同取值,討論f(x)的奇偶性,并說明理由;
(2)已知a>0,函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f﹣1(x),若函數(shù)y=f(x)+f﹣1(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為1+log23,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2x+2 sin(x+ )cos(x﹣ )﹣cos2x﹣ .
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在[﹣ , π]上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=.
(1)當(dāng)n∈N+,求f(n)的表達(dá)式;
(2)設(shè)an=nf(n),n∈N+,求證:a1+a2+…+an<2.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
(1)利用f(x+y)=f(x)f(y)(x,y∈R)通過令x=n,y=1,說明{f(n)}是以f(1)=為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列求出;(2)利用(1)求出an=nf(n)的表達(dá)式,利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和,即可說明不等式成立.
(1)解:f(n)=f[(n-1)+1]
=f(n-1)·f(1)=f(n-1).
∴當(dāng)n≥2時(shí),=.
又f(1)=,
∴數(shù)列{f(n)}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,
∴f(n)=f(1)·()n-1=()n.
(2)證明:由(1)可知,
an=n·()n=n·,
設(shè)Sn=a1+a2+…+an,
則Sn=+2×+3×+…+(n-1)·+n·,①
∴Sn=+2×+…+(n-2)·+(n-1)·+n·.②
①-②得,
Sn=+++…+-n·
=-=1--,
∴Sn=2--<2.
即a1+a2+…+an<2.
【點(diǎn)睛】
本題考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和的求法,考查不等式的證明,裂項(xiàng)法與錯(cuò)位相減法的應(yīng)用,數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見的已知和的關(guān)系,求表達(dá)式,一般是寫出做差得通項(xiàng),但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用;數(shù)列求和常用法有:錯(cuò)位相減,裂項(xiàng)求和,分組求和等.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=a (a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N+.
(1)設(shè)bn=Sn-3n,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若an+1≥an,n∈N+,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“過大年,吃水餃”是我國(guó)不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗,2018年春節(jié)前夕, 市某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了100包某種品牌的速凍水餃,檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo).
(1)求所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)①由直方圖可以認(rèn)為,速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,利用該正態(tài)分布,求落在內(nèi)的概率;
②將頻率視為概率,若某人從某超市購(gòu)買了4包這種品牌的速凍水餃,記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標(biāo)值位于內(nèi)的包數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:①計(jì)算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為;
②若,則,.
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