Question

直線y=

2

2

x與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0的兩個交點在x軸上的射影恰為橢圓的兩個焦點，則橢圓的離心率e等于（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  2

  2

• C．

  3

  3

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：由題意及橢圓的對稱性可設兩個交點分別為M(c，

2

2

c)，N(-c，-

2

2

c)．把M代入橢圓方程得

c2

a2

+

1 2 c2

b2

=1，又b²=a²-c²，即可得到關(guān)于a，c的方程，再利用離心率0＜e=

c

a

＜1即可得出．

解答：解：由題意及橢圓的對稱性可設兩個交點分別為M(c，

2

2

c)，N(-c，-

2

2

c)．
把M代入橢圓方程得

c2

a2

+

1 2 c2

b2

=1，又b²=a²-c²，
化為2c⁴-5a²c²+2a⁴=0，
∴2e⁴-5e²+2=0，
∴（2e²-1）（e²-2）=0，
∵0＜e＜1，∴2e²-1=0，解得e=

2

2

．
故選B．

點評：熟練掌握橢圓的對稱性、直線與橢圓相交問題的轉(zhuǎn)化、離心率計算公式是解題的關(guān)鍵．