【題目】已知橢圓的一個焦點(diǎn)為,其左頂點(diǎn)在圓上.

Ⅰ)求橢圓的方程;

直線交橢圓兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為(點(diǎn)與點(diǎn)不重合),且直線軸的交于點(diǎn),試問的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由

【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)1.

【解析】試題分析:(1)由橢圓C的左頂點(diǎn)A在圓x2+y2=12上,求得a,由橢圓的一個焦點(diǎn)得c=3,由b2=a2-c2得b,即可.
(2)由題意,N1x2-y2),可得直線NM的方程,令y=0,可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,0). 利用PMN的面積為S= |PF||y1-y2|,化簡了基本不等式的性質(zhì)即可得出.
試題解析:

(Ⅰ)∵橢圓的左頂點(diǎn)在圓上,∴

又∵橢圓的一個焦點(diǎn)為,∴

∴橢圓的方程為 

(Ⅱ)設(shè),則直線與橢圓方程聯(lián)立

化簡并整理得,

由題設(shè)知 ∴直線的方程為

∴點(diǎn)  

(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)

的面積存在最大值,最大值為1.

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